Dvanáctková soustava

Dvanáctková soustava je poziční číselná soustava se základem 12. Potřebuje dvanáct číslic a každé místo vyjadřuje mocninu dvanácti. Číslo 12 má více dělitelů než 10, takže se v ní jednoduše zapisují poloviny, třetiny, čtvrtiny a šestiny. Její stopy přetrvávají v tuctech, hodinách i starých měnách.

Historie

Lidé nemuseli počítat pouze po deseti. Desítkovou soustavu podporuje počet prstů na obou rukou, jiné způsoby však vycházely z kloubů, svazků zboží nebo praktického dělení. Dvanáct lze rozdělit dvěma, třemi, čtyřmi a šesti bez zbytku, což je výhodné při porcování, měření a obchodování s věcmi, které se dělí mezi více osob.

Jedno možné tělesné počítání používá palec jako ukazatel tří článků na každém ze čtyř ostatních prstů jedné ruky. Tím vznikne dvanáct pozic. Druhá ruka může zaznamenávat počet dokončených dvanáctic a dovést počet k šedesáti. Tento postup je doložen v různých kulturách, nelze z něj však bez dalších pramenů odvozovat jediný původ všech dvanáctkových měr.

Starověké civilizace kombinovaly různé základy. Mezopotámská matematika používala šedesátkovou soustavu a právě 60 je násobkem 12. Rozdělení kruhu na 360 stupňů, hodiny na 60 minut a dne na dvanáctihodinové úseky vychází z dlouhého vývoje astronomie a měření času. Nejde o čistě dvanáctkový zápis všech čísel, ale o příbuznou dělitelnost.

Dvanáct se uplatnilo také jako počet kusů. Tucet znamená dvanáct a veletucet dvanáct tuctů, tedy 144. Obchodník mohl snadno rozdělit tucet na dvojice, trojice, čtveřice nebo šestice. Jednotka se hodila pro vejce, textilní zboží, nástroje i další výrobky, jejichž balení a dělení bylo praktičtější než desetinné skupiny.

Ve středověké a raně novověké Evropě se s dvanáctkovým členěním setkávaly délkové, hmotnostní i peněžní jednotky. Stopa měla dvanáct palců a v Anglii tvořilo dvanáct pencí jeden šilink. Tyto soustavy nebyly jednotné napříč zeměmi a často kombinovaly násobky 12, 20, 16 i jiné místní vztahy. Uživatel proto potřeboval znát konkrétní region a období.

Britská libra se před decimalizací roku 1971 dělila na dvacet šilinků a šilink na dvanáct pencí. V jedné libře tak bylo 240 starých pencí. Dělení usnadňovalo některé běžné zlomky libry, ale výpočty mezi librami, šilinky a pencemi vyžadovaly znalost více převodů. Nešlo o poziční soustavu se základem 12 v přísném matematickém smyslu.

Matematici a reformátoři v novověku navrhovali, aby se dvanáctkový základ používal obecně. Museli by zavést dva znaky pro hodnoty deset a jedenáct a změnit čtení víceciferných čísel. Zastánci zdůrazňovali snadné zlomky, odpůrci náklady přechodu a sílu desetinných měr, účetnictví a vzdělávání.

Francouzská revoluce naopak podpořila decimalizaci měr a peněz. Metrický systém spojil jednotky násobky deseti a usnadnil písemné převody. V 19. a 20. století se desetinné měny rozšířily v mnoha státech. Dvanáctkové prvky přesto zůstaly v hodinách, kalendářních dvanácti měsících, úhlech, tuctech a některých angloamerických mírách.

V informatice dominují základy 2, 8 a 16, protože přímo odpovídají binárnímu zpracování. Dvanáctková soustava se používá spíše v matematických úvahách a zájmových komunitách. Její číslo 10 znamená dvanáct v desítkové soustavě, zatímco desítková hodnota deset potřebuje zvláštní číslici. Bez uvedení základu proto může zápis působit dvojznačně.

Historie dvanácti ukazuje rozdíl mezi číselnou soustavou a systémem jednotek. Tucty nebo dvanáct pencí v šilinku dokazují seskupování, nikoli nutně to, že lidé všechny výpočty zapisovali pozičně v základu 12. Každá kulturní dvanáctka tedy není úplnou dvanáctkovou matematikou.

Zápis čísel, zlomky a peněžní dělení

V poziční dvanáctkové soustavě představují místa zprava hodnoty 1, 12, 144, 1 728 a další mocniny dvanácti. K číslicím 0 až 9 jsou nutné dva další znaky pro deset a jedenáct. Zápis 100 má hodnotu 144 v desítkové soustavě a zápis 0,1 vyjadřuje jednu dvanáctinu.

Výhoda se projeví u zlomků. Jedna polovina se zapíše jako 0,6, třetina jako 0,4, čtvrtina jako 0,3 a šestina jako 0,2. Pětina nebo sedmina naopak vytváří nekonečný periodický rozvoj. Žádný základ proto neukončí všechny zlomky; záleží na prvočinitelích základu.

Staré britské mince ilustrují dvanáctkové dělení uvnitř smíšené soustavy. Dvanáct pencí tvořilo šilink, dvacet šilinků libru a 21 šilinků guineu. Hodnoty se při účetním zápisu uváděly odděleně. Mince však nebyly číslicemi pozičního zápisu a jejich fyzický počet nemusel odpovídat jediné účetní jednotce.

Při převodu historické ceny nestačí mechanicky přepočítat pence na dnešní desetinnou libru. Je třeba rozlišit nominální vztah jednotek, kupní sílu, obsah kovu, mzdy a konkrétní rok. Dvanáct pencí tehdy tvořilo šilink, ale ekonomický význam šilinku se v čase měnil.

Numismatický popis uvádí původní nominál a dobový vztah měn. Moderní desetinný přepočet může být pomocnou informací, nesmí nahrazovat historický systém. U početních žetonů nebo obchodních tabulek je navíc nutné ověřit, zda pracovaly s penězi, mírami nebo abstraktní aritmetikou. Stejný znak mohl mít podle tabulky jiný význam.